一类拟线性不定问题中极小元的唯一性与符号性质

设 $1<q<p$ 且 $a\in C(\overline{\Omega})$ 变号，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中有界光滑区域。我们证明泛函 $$I_{q}(u):=\int_{\Omega}\left( \frac{1}{p}|\nabla u|^{p}-\frac{1}{q}a(x)|u|^{q}\right) ,$$ 恰有一个非负极小元 $U_{q}$（在 $W_{0}^{1,p}(\Omega)$ 或 $W^{1,p}(\Omega)$ 中）。此外，我们证明 $U_{q}$ 是相应欧拉-拉格朗日方程唯一可能的\textit{正}解，这表明该方程至多有一个正解。进一步，我们证明若 $q$ 充分接近 $p$，则 $U_{q}$ 为正，这也保证了 $I_{q}$ 的极小元不变号。其中若干结果即便对 $p=2$ 也是新的。