变指数商的极小化

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 的有界区域，$p\in C^{1}(\overline{\Omega}),$ $q\in C(\overline{\Omega})$ 且 $l,j\in\mathbb{N}.$ 我们描述了 Rayleigh 商 $\frac{\Vert\nabla u\Vert_{lp(x)}}{\Vert u\Vert_{jq(x)}}$ 极小元的渐近行为，先考虑 $j\rightarrow\infty$ 的情况，随后考虑 $l\rightarrow\infty$ 的情况。