广义拉普拉斯算子第一个特征值的研究

本文研究了形如 $$\frac{\int_\Omega A(|\nabla u|)\, dx}{\int_\Omega A(|u|)\, dx}$$ 的Rayleigh型商的最小化者能量。这些最小化者是广义拉普拉斯算子的本征函数，定义为 $\Delta_a u = \text{div}\left(a(|\nabla u|)\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)$，其中 $a(t)=A'(t)$，且Rayleigh商与相关特征值相当。关于函数 $A$，我们仅假设其为Young函数，但不施加$\Delta_2$条件。由于问题非齐次，最小化者的能量已知会严格取决于规范化参数 $\alpha =\int_\Omega A(|u|)\, dx$。本文精确分析了这一依赖关系，展示了能量关于$\alpha$的可微性，以及Rayleigh商在$\alpha\to 0$和$\alpha\to \infty$时的极限。该问题的非局部版本也被分析。