有界域中 $L^2$-次临界 Kirchhoff 能量泛函极小元的质量集中

本文研究 Kirchhoff 泛函 $$E_b(u)=\int_{\Omega}|\nabla u|^2\mathrm{d}x+\frac{b}{2}\left(\int_\Omega|\nabla u|^2\mathrm{d}x\right)^2+\int_\Omega V(x)u^2\mathrm{d}x-\frac{\beta}{2}\int_{\Omega}|u|^4\mathrm{d}x$$ 的 $L^2$-约束极小元，其中 $b>0$，$\beta>0$，$V(x)$ 是 $\mathbb R^2$ 中有界域 $\Omega$ 内的束缚势。众所周知，对任意 $b>0$ 和 $\beta>0$ 极小元存在，而当 $b=0$ 且 $\beta\geq\beta^*$ 时极小元不存在，其中 $\beta^*=\int_{\mathbb R^2}|Q|^2\mathrm{d}x$，$Q$ 是 $\mathbb R^2$ 中 $-\Delta u+u-u^3=0$ 的唯一正解。本文证明：当 $\beta=\beta^*$ 时，能量收敛到 0；但当 $\beta>\beta^*$ 时，随着 $b\searrow0$ 最小能量发散到 $-\infty$。进一步，我们给出了当 $b\searrow0$ 时，对于 $\beta=\beta^*$ 或 $\beta>\beta^*$ 情况下极小元的精细极限行为和能量估计。两种情况下，我们得到极小元的质量集中在 $\Omega$ 的内点或边界附近，取决于 $V(x)$ 是否在 $\Omega$ 的内点达到其最平坦全局最小值。同时，我们发现一个有趣现象：当 $\beta=\beta^*$ 时，极小元集中在 $\Omega$ 边界附近的爆破速率快于集中在内点；而当 $\beta>\beta^*$ 时，爆破速率保持一致。