关于部分分离调和映射：自由边界的最优正则性与结构

我们考虑在有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 上最小化 Dirichlet 能量 $$\sum_{j=1}^3 \int_{\Omega} |\nabla u_j|^2\,dx$$ 的三元组密度 $(u_1,u_2,u_3)$，并满足部分分离条件：$$u_1\,u_2\,u_3 \equiv 0 \ \text{在 $\Omega$ 中。}$$ 我们证明了极小化元在指数为 $3/4$ 的 Hölder 连续函数空间中的最优正则性；此外，我们证明了自由边界是一系列局部有限个光滑余维一维流形的集合，最多除去一个 Hausdorff 维数至多为 $N-2$ 的剩余集。最后，我们证明了惩罚能量：$$J_\beta(\mathbf{u}, \Omega) = \int_{\Omega} \sum_{i=1}^3 |\nabla u_i|^2 \,dx+ \beta \int_{\Omega} \prod_{j=1}^3 u_j^2\,dx,$$ 的极小解在指数小于 $3/4$ 的 Hölder 连续函数空间中的关于 $\beta$ 一致的先验界。证明利用了 Almgren 型单调性公式、blow-up 分析以及一些新的 Liouville 型定理。