一类谱分割问题所有极小元的规律性

我们研究了一类相当广泛的最优分割问题，其代价泛函关于包含分割的 Dirichlet 特征值的单调且强制的泛函代价。我们给出了原问题的一个自然松弛版本的整个极小元集合的尖锐规律性结果，以及特征函数的规律性和一个普适的自由边界条件。其中，我们的结果涵盖了如下泛函代价的情况：$$(\omega_1, \dots, \omega_m) \mapsto \sum_{i=1}^{m} \left( \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_{j}(\omega_i)^{p_i}\right)^{1/p_i}, \quad \prod_{i=1}^{m} \left( \prod_{j=1}^{k_i} \lambda_{j}(\omega_i)\right), \quad \prod_{i=1}^{m} \left( \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_{j}(\omega_i)\right)$$ 其中 $(\omega_1, \dots, \omega_m)$ 为分割的集合，$\lambda_{j}(\omega_i)$ 为集合 $\omega_i$ 在零 Dirichlet 边界条件下的第 $j$ 个 Laplace 特征值。