具有各向异性能量的流形值映射的奇异摄动

我们建立了极小子 $u_\varepsilon$ 的小能量 H"{o}lder 估计，其能量为 $$E_\varepsilon (u):=\int_\Omega W(\nabla u)+ \frac{1}{\varepsilon^2} \int_\Omega f(u),$$ 其中 $W$ 为正定二次型，势 $f$ 约束 $u$ 接近于给定流形 $\mathcal N$。这意味着，直至子列，$u_\varepsilon$ 在其奇异集之外局部一致收敛于一个 $\mathcal N$ 值 $W$-调和映射。我们处理一般能量，特别涵盖具有三个不同弹性常数的三维 Landau-de Gennes 液晶模型。类似结果在各项同性情形 $W(\nabla u)=\vert \nabla u\vert^2$ 中已知，并依赖于三个要素：小球上尺度不变能量的单调性公式、一致逐点界，以及能量密度的 Bochner 方程。在我们所考虑的 generality 层级上，这些要素均缺失。特别地，单调性公式的缺失是 $W$-调和映射奇异集最优估计仍为开放问题的重要原因。我们的新论证依赖于展示小球上能量在小于与大于 $\varepsilon$ 的尺度上分别的适当衰减：前者由椭圆组解的正则性获得，后者继承自 $W$-调和映射的正则性。这也使我们能处理物理相关的边界条件，对此即便在各向同性情形，直至边界的一致收敛也是开放的。