二维单位向量场各向异性能量的补偿效应

我们研究由下式给出的二维单位向量场的高度各向异性能量：\begin{align*} E_\epsilon(u)= \int_{\Omega} (\mathrm{div}\,u)^2 + \epsilon(\mathrm{curl}\,u)^2\, dx\,, \quad u\colon\Omega\subset\mathbb R^2\to\mathbb S^1\, \end{align*} 在极限$\epsilon\to 0$下的行为。该能量在$\epsilon\to 0$时显然失去了对$u$全梯度的控制，但是，通过采用双曲守恒律的工具，我们证明它仍然控制着1/2阶导数。特别地，任何有界能量序列$E_\epsilon(u_\epsilon)\leq C$在$W^{s,3}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$中对于$s<1/2$是紧的。此外，这种1/2阶的可微性是最优的，因为任何映射$u\in W^{1/2,4}(\Omega;\mathbb S^1)$都是有界能量序列的极限。我们还建立了边界迹在$L^1(\partial\Omega)$中的紧性，并在单变量映射的简单情形以及薄膜模型的情形下刻画了$\Gamma$-极限。