Ginzburg-Landau 调和映射近似的能量恒等式

给定两个黎曼流形 $M$ 和 $N\subset\mathbb{R}^L$，我们考虑准能量泛函的能量浓集现象 $$E_{\epsilon}(u)=\int_M\frac{\vert\nabla u\vert^2}{2}+\frac{F(u)}{\epsilon^2},u\in W^{1,2}(M,\mathbb{R}^L),$$ 其中 $F(x)$=dist$(x,N)$ 位于 $N$ 的小管道邻域内，并在 $N$ 之外保持常数。Chen-Struwe 证明当 $\epsilon\rightarrow0$ 时，能量受限 $E_{\epsilon}(u_{\epsilon})\leqslant\Lambda$ 的临界点 $u_{\epsilon}$ 的次级收敛于弱调和映射 $u:M\rightarrow N$。此外，我们有能量密度的收敛 $$\left(\frac{\vert\nabla u_{\epsilon}\vert^2}{2}+\frac{F(u_{\epsilon})}{\epsilon^2}\right)dx\rightarrow\frac{\vert\nabla u_{\epsilon}\vert^2}{2}dx+\nu,$$ 上述缺陷测度 $\nu$ 为 $(dimM-2)$-可测。Lin-Wang 证明若 $N$ 为球面或 $dimM$=2，则 $\nu$ 的密度可由调和球的能量之和表示。在本文中，我们使用 Naber-Valtorta 引入的思想，证明了该结果适用于任意 $M$。