受 Ericksen 向列相液晶模型启发的变分奇异扰动问题

我们研究当 $\varepsilon\to0$ 时，能量 \begin{equation*} E_\varepsilon(u)=\int_{\Omega}\Big(|\nabla u|^2+\big(\frac{1}{\varepsilon^2}-1\big)|\nabla|u||^2\Big), \end{equation*} 在映射类 $u\in H^1(\Omega,{\mathbb R}^2)$ 且满足边界条件 $u=g$ 于 $\partial\Omega$ 上的极小化子 $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的渐近行为，其中 $\Omega$ 是 ${\mathbb R}^2$ 中光滑、有界且单连通的区域，$g:\partial\Omega\to S^1$ 是次数为 $D\ge1$ 的光滑边界数据。其动机来自具有可变取向度的 Ericksen 向列相液晶模型的简化版本。我们证明了 $\{u_\varepsilon\}$ 收敛（沿子列）到一个奇异的 $S^1$ 值调和映射 $u_*$，这一结果类似于 \cite{BBH} 中对 Ginzburg-Landau 能量的类似问题所得的结果。然而，我们的结果与涉及 Ginzburg-Landau 能量的结果有两个显著区别。首先，在我们的问题中奇异极限 $u_*$ 可能具有严格大于一的奇点度数。第二，我们发现极小子能量满足“等分配”原理，即 $E_\varepsilon(u_\varepsilon)$ 中两项的贡献基本相等。