高维 Ginzburg-Landau 涡旋能量的量子化与非量子化

给定流形 $M$ 上复 Ginzburg–Landau 能量 \begin{align*} &E_\epsilon(u)=\int_{M}\left(\frac{|du|^2}{2}+\frac{(1-|u|^2)^2}{4\epsilon^2}\right), \end{align*} 的一族临界点 $u_{\epsilon}:M^n\to\mathbb{C}$,其自然能量增长为 $E_{\epsilon}(u_{\epsilon})=O(|\log\epsilon| )$,已知涡旋集 $\{|u_\epsilon|\leq \frac{1}{2}\}$ 在内部子序列收敛到平稳、可整流 $(n-2)$-varifold $V$ 的支撑集,该支撑集被刻画为归一化能量测度极限 $\lim_{\epsilon\to 0} \frac{e_\epsilon(u_\epsilon)}{\pi|\log\epsilon| }$ 的集中部分。当 $n=2$ 或解 $u_{\epsilon}$ 为能量最小化时,还已知此 varifold $V$ 是整数的;即 $|V|$ 的 $(n-2)$-密度 $\Theta_{n-2}(|V|,x)$ 在 $|V|$-几乎处处的 $x\in M$ 处取 $\mathbb{N}$ 中的值。在本文中,我们证明对于维数 $n\geq 3$ 且 $E_{\epsilon}(u_{\epsilon})=O(|\log\epsilon| )$ 的一般临界点族,此能量量子化现象仅在密度小于 $2$ 时成立:即我们证明极限 varifold 的密度 $\Theta_{n-2}(|V|,x)$ 在 $|V|$-几乎处处的 $x\in M$ 处取值于 $\{1\}\cup [2,\infty)$,并证明这是尖锐的,即在如下意义下:对任意 $n\geq 3$ 和 $\theta\in \{1\}\cup [2,\infty)$,存在球 $B_1^n(0)$ 中 $E_{\epsilon}$ 的一族临界点 $u_{\epsilon}$,其集中 varifold $V$ 由密度为 $\theta$ 的 $(n-2)$-平面给出。