曲面上向量场 Ginzburg-Landau 涡旋的动力学

本文考虑以下 Ginzburg-Landau 型能量的梯度流 $$F_\varepsilon(u) := \frac{1}{2}\int_{M}\vert D u\vert_g^2 +\frac{1}{2\varepsilon^2}\left(\vert u\vert_g^2-1\right)^2\mathrm{vol}_g.$$ 该能量定义在二维闭合定向黎曼流形 $M$ 上的切向量场上（这里 $D$ 表示协变导数），并依赖于一个小参数 $\varepsilon>0$。如果能量满足适当的界限，当 $\varepsilon\to 0$ 时，第二项迫使向量场具有单位长度。然而，由于 $M$ 上向量场的 Sobolev 正则性与单位范数约束之间的不相容性，$F_\varepsilon$ 的临界点倾向于产生有限数量的具有非零指标（当欧拉示性数非零时）的奇异点（称为涡旋）。这类问题已在 R. Ignat 和 R. Jerrard 近期的一篇论文中得到广泛分析。与欧几里得情形一样，涡旋的位置由所谓的重整化能量支配。本文关注涡旋的动力学。我们严格证明了涡旋按照重整化能量的梯度流运动，这是当 $\varepsilon\to 0$ 时 Ginzburg-Landau 能量梯度流的极限行为。