具有小钉扎域的Ginzburg-Landau模型

我们考虑一类Ginzburg-Landau型能量，其势能项$(a^2 - |u|^2)^2$中包含一个分段常数的钉扎项$a$。函数$a$仅在有限个不相交的区域（称为钉扎域）上取值不为1。这些钉扎域模拟均匀超导体中的微小杂质，并在极限$\v\to0$时收缩为单点；这里\v是Ginzburg-Landau参数的倒数。我们在光滑单连通区域$\Omega \subset \mathbb{C}$上研究能量极小化问题，边界条件为$\d \O$上的Dirichlet边界条件$g$，且拓扑度${\rm deg}_{\d \O} (g) = d >0$。我们的主要结果是：对于小的\v，极小值点具有$d$个不同的零点（涡旋），这些零点位于钉扎域内部，且每个零点的度数为1。寻找带有涡旋的钉扎域位置的问题可归结为关于重正化能量的有限维泛函的离散极小化问题。我们还确定了涡旋在钉扎域内部的位置，并证明渐近地，该位置由不依赖于外部边界条件的局部重正化能量决定。