临界指数空化模型的能量估计与空穴相互作用

我们考虑在穿孔域 $\Omega_{\ep}:= \Omega \setminus \bigcup_{i=1}^M B_{\ep}(\vec a_i)$ 中最小化 $\int_{\Omega_{\ep}} |D\vec u|^p \dd\vec x$，其中映射 $\vec u \in W^{1,p}(\Omega_{\ep}, \R^n)$ 满足不可压缩条件（$\det D\vec u\equiv 1$）、可逆性，并在 $\partial \Omega$ 上满足 Dirichlet 边界条件 $\vec u= \vec g$。如果 $\vec g (\partial \Omega)$ 所包围的体积大于 $|\Omega|$，则任何此类变形 $\vec u$ 都被迫将小孔 $B_{\ep}(\vec a_i)$ 映射为宏观可见的空穴（这些空穴在 $\ep\to 0$ 时不会消失）。我们将注意力限制在临界指数 $p=n$ 的情形，此时空化所需的能量量级为 $\sum_{i=1}^M v_i |\log \ep|$，因此该模型适用于渐近分析（$v_1,..., v_M$ 表示空穴的体积）。秉承 Ginzburg-Landau 理论中涡旋分析的精神，我们获得了“重整化”能量 $\frac{1}{n}\int_{\Omega_{\ep}} |\frac{D\vec u}{\sqrt{n-1}}|^p \dd\vec x - \sum_i v_i |\log \ep|$ 的估计，展示了其对空穴大小和形状、空化点 $\vec a_1,..., \vec a_M$ 之间的初始距离以及这些点到外边界 $\partial \Omega$ 的距离的依赖性。基于这些估计，我们得出结论：对于两个空穴的情形，空穴要么倾向于呈球形且彼此良好分离，要么彼此非常靠近并表现为单个等效的圆形空穴。这与现有的数值模拟一致，并让人联想到延性断裂机制中空穴通过空洞生长和合并而产生的相互作用。