Onsager 临界类中的耗散与 $BV\cap L^\infty$ 中有无边界时的能量守恒

本文研究不可压缩欧拉方程。在 Onsager 临界类中，我们给出了 Duchon-Robert 测度关于正则化核及一族向量值测度 $\{\mu_z\}_z$ 的显式公式，该测度族对方向 $z\in B_1$ 具有某种 H"older 正则性。随后，我们证明了 $L^\infty_{x,t}\cap L^1_t BV_x$ 解在有无物理边界情形下的能量守恒。该结果推广了先前已知的涡片情形，表明能量守恒源于 $L^\infty\cap BV$ 不可压缩向量场的结构，而非流动具有“有组织的奇点”。内部能量守恒使用了 Ambrosio 对卷积核的各向异性优化，它与通常的能量守恒论证不同，严重依赖于向量场的不可压缩性。这是针对给定解类的首个能量守恒证明，其无法同时适用于可压缩与不可压缩模型，与可压缩激波具有非平凡熵产相一致。为进行边界分析，我们引入了一般向量场的“法向 Lebesgue 迹”概念，令人联想到 $BV$ 函数的相应概念。我们表明，具有此类零法向迹基本上等价于边界能量通量消失。这超越了先前方法，建立了一个适用于每个 Lipschitz 有界域的框架。允许任意 Lipschitz 边界给证明带来了若干技术性，具有颇强的几何/测度论色彩。