关于随机3D Euler方程组的Ongsager猜想的一个证明

本文研究定义在周期域$\mathbb{T}^3$上的随机3D Euler方程组，驱动由轨迹类Wiener过程$GG^*$-驱动：\begin{align*} \mathrm{d} u+\mathrm{div}(u\otimes u)\,\mathrm{d} t+\nabla p\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}B, \quad \mathrm{div} u=0. \end{align*}首先，对于任意$\vartheta<1/3$，我们构造无数多个全局时间上概率强且分析弱解$u\in C([0,\infty),C^{\vartheta}(\mathbb{T}^3,\mathbb{R}^3))$。这些解在路径上以任意给定的停止时间$\mathfrak{t}$为准则，按路径耗散能量，该停止时间的概率可以任意大，即几乎必然地成立\begin{align*} \|u(t\wedge\mathfrak{t})\|_{L^2}^2< \|u(s\wedge\mathfrak{t})\|_{L^2}^2 +2 \int_{s\wedge\mathfrak{t}}^{t\wedge\mathfrak{t}} \big\langle u(r), \mathrm{d} B(r) \big\rangle +\mathrm{Tr}\big(GG^*\big) (t\wedge\mathfrak{t}-s\wedge\mathfrak{t}), \end{align*}对于任意$0\leq s < t<\infty$。我们还提供了基于\cite{CET94}的能量守恒对于$\vartheta>1/3$的简要证明，从而确认了随机3D Euler方程组的Ongsager定理。其次，设$0<\bar{\vartheta}<\bar{\beta}<1/3$，我们构造无数多个全局时间上概率强和分析弱解在$C([0,\infty),C^{\bar{\vartheta}}(\mathbb{T}^3,\mathbb{R}^3))$，对于任意给定的在$C^{\bar{\beta}}(\mathbb{T}^3,\mathbb{R}^3)$中的无散度初始数据。我们的构造依赖于由\cite{Ise18}在确定性环境中发展出来的凸组合方法，通过引入新的能量不等式到凸组合方案中，并结合随机分析论证与韦-ng--扎克类型估计来适应随机情境。