${\mathbb R}^d$ 中沿球面穿孔的 $p$-拉普拉斯算子的基本均匀化问题:$L^\infty$ 估计

我们考虑 $p$-拉普拉斯算子的边值问题,该问题 posed 于小空腔的外部,这些空腔具有相同 $p$-容量并锚定在 $\mathbb{R}^d$ 中的单位球面上,其中 $1<p<d$。我们假设锚点之间的距离至少为 $\varepsilon$,且空腔的特征直径为 $\alpha \varepsilon$,其中 $\alpha=\alpha(\varepsilon)$ 随 $\varepsilon$ 趋于 0。我们还假设当 $\varepsilon \downarrow 0$ 时锚点渐近均匀分布,且其数量渐近于某正常数乘 $\varepsilon^{1-d}$。解 $u=u^\varepsilon$ 被要求在全部空腔上为 1 并在无穷远处衰减至 0。我们的目标是描述小 $\varepsilon>0$ 时解的行为。我们证明该问题存在一个由 $\tau:=\lim_{\varepsilon \downarrow 0}\alpha /\alpha_c \in (0,\infty)$ 表征的临界窗口,其中 $\alpha_c=\varepsilon^{1/\gamma}$ 且 $\gamma= \frac{d-p}{p-1}$。我们证明在单位球外,当 $\varepsilon\downarrow 0$ 时,解收敛于 $A_*U$(对某常数 $A_*$),其中 $U(x)=\min\{1,|x|^{-\gamma}\}$ 是单位球外的径向 $p$-调和函数。此处若 $\tau=0$ 则常数 $A_*$ 等于 0,而若 $\tau=\infty$ 则 $A_*=1$。在 $\tau$ 为正且有限的临界窗口中,$A_*\in(0,1)$ 由问题的参数显式算出。我们还评估了上述三种情形中的极限 $p$-容量。我们的关键新工具是构造了一个显式 ansatz 函数 $u_{A_*}^\varepsilon$,它在 $L^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ 中逼近解 $u^\varepsilon$,并满足 $\|\nabla u^\varepsilon-\nabla u_{A_*}^\varepsilon \|_{L^{p}(\mathbb{R}^d)} \to 0$(当 $\varepsilon \downarrow 0$)。