抽象多重性定理及其在临界增长问题中的应用

我们证明了若干抽象多重性定理，可用于获得临界增长 $p$-拉普拉斯和 $(p,q)$-拉普拉斯型问题的多个非平凡解。我们证明了此处所考虑的问题在某一参数 $\lambda > 0$ 的所有足够大的取值下都具有任意多个解。特别地，解的个数随着 $\lambda \to \infty$ 趋于无穷。此外，我们给出了为获得给定个数解时 $\lambda$ 的显式下界。该下界是用基于 ${\mathbb Z}_2$-上同调指标的 eigenvalues 序列表示的。这是由于我们的抽象多重性结果本质性地利用了上同调指标的穿透性质，而亏格不具备该性质。我们对 $p$-拉普拉斯的结果即使在半线性情形 $p = 2$ 下也是新的。