穿孔区域中的Dirichlet问题

本文在$\mathbb{R}^d$中一个有界且穿孔的（不一定周期性的）$C^1$域$\Omega_{\varepsilon, \eta}$上，建立了带Dirichlet条件的拉普拉斯方程的解$u_\varepsilon$的$W^{1,p}$估计。边界常数显式依赖于两个小参数$\varepsilon$和$\eta$，其中$\varepsilon$表示孔之间最小距离的尺度，$\eta$表示孔尺寸与$\varepsilon$的比值。证明依赖于$\nabla u_\varepsilon$的大尺度$L^p$估计，其证明分为两部分。第一部分，我们证明当$\varepsilon, \eta$趋近于零时，$\Omega_{\varepsilon, \eta}$中的调和函数可以通过$\Omega$中一个Schrödinger算子的中间问题的解来逼近。第二部分，利用实变方法，通过使用$\varepsilon$以上尺度的逼近，建立了$\nabla u_\varepsilon$的大尺度$L^p$估计。结果在$d\ge 3$且$p=d$或$d^\prime$的情形之外是精确的。