诺伊曼筛问题的算子估计

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的区域，$\Gamma$ 为与 $\Omega$ 相交的超平面，$\varepsilon>0$ 为小参数，$D_{k,\varepsilon}$（$k=1,2,3\dots$）为 $\Gamma\cap\Omega$ 中的一族小“孔”；当 $\varepsilon \to 0$ 时，孔的数量趋于无穷，而其直径趋于零。令 $\mathscr{A}_\varepsilon$ 为穿孔区域 $\Omega_\varepsilon=\Omega\setminus\Gamma_\varepsilon$ 上的诺伊曼拉普拉斯算子，其中 $\Gamma_\varepsilon=\Gamma\setminus (\cup_k D_{k,\varepsilon})$（“筛”）。众所周知，若仔细选取孔的尺寸，$\mathscr{A}_\varepsilon$ 将在强预解意义下收敛至 $\Omega\setminus\Gamma$ 上满足所谓 $\delta'$-条件的拉普拉斯算子。在当前工作中我们改进了该结果：在对孔的形状与位置相当一般的假设下，我们推导了依 $L^2\to L^2$ 与 $L^2\to H^1$ 算子范数的收敛速率估计；在后一种情形需要特殊的校正子。