边界附近含小孔的域上 Laplace 算子的 Dirichlet 问题

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 3$) 中的一个开正则区域 $\Omega$。引入一对正参数 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$，并记 $\epsilon\equiv(\epsilon_1,\epsilon_2)$。然后通过在 $\Omega$ 内距离边界 $\epsilon_1$ 处挖去一个尺寸为 $\epsilon_1\epsilon_2$ 的小孔，定义穿孔区域 $\Omega_\epsilon$。当 $\epsilon\rightarrow(0, 0)$ 时，小孔趋近边界，同时其尺寸以更快的速率收缩。在 $\Omega_\epsilon$ 中考虑 Laplace 方程的 Dirichlet 问题，并将其解记为 $u_\epsilon$。通过基于泛函分析和引入特殊层位势的方法，我们证明将 $\epsilon$ 映射到 $u_\epsilon$（的某种限制）的映射在 $(0, 0)$ 的一个邻域内具有实解析延拓。