稳态Yang-Mills场的能量恒等式

给定一个带有紧结构群$G$的黎曼流形上的主丛$P\to M$，考虑一个稳态Yang-Mills联络$A$，其能量$\int_M |F_A|^2\le \Lambda$。若考虑一列这样的联络$A_i$，则可知在子列意义下，$A_i\to A$收敛到一个奇异极限联络，使得能量测度收敛$|F_{A_i}|^2 dv_g\to |F_A|^2dv_g +\nu$，其中$\nu=e(x)d\lambda^{n-4}$是$n-4$可求积的缺陷测度。我们的主要结果是在无额外假设的情况下证明，对于$n-4$几乎处处的点，能量密度$e(x)$可以显式地计算为在$x$处爆破产生的泡泡能量之和。这些泡泡中的每一个都可以实现为$S^4$上的Yang-Mills联络本身。我们的第二个主要定理是证明这个Hessian界自动成立。确切地说，给定如上联络$A$，我们有曲率的先验估计$\int_M |\nabla^2 F_A| < C(\Lambda,\dim G,M)$。重要的是，这个结果是与能量量子化同时证明的，而非在此之前。事实上，我们将证明能量恒等式的一个有效版本，正是这个有效版本将导出$L^1$ Hessian界和经典的能量量子化结果。在证明过程中，我们将提供泡泡树分解的一个定量版本，该版本在所有维度上成立，并对固定的稳态联络给出有效估计。为了得到本文中最强的估计，我们引入了一个$\epsilon$-规范条件，它推广了通常的库仑规范，并且即使在奇异区域上也能存在并具有有效控制。在这些$\epsilon$-规范上，我们将提供一个新的超凸性估计，这将是分析高维环形区域的关键工具。