平稳联络的定量分层

设 $A$ 为黎曼流形 $M$ 上主丛 $P$ 的联络，其曲率 $F_A\in L_{\text{loc}}^2(M)$ 满足平稳性方程。平稳性的一个推论是，对于仅依赖于 $M$ 局部几何的某个常数 $c$，$\theta_A(x,r)=e^{cr^2}r^{4-n}\int_{B_r(x)}|F_A|^2$ 关于 $r$ 单调递增。我们感兴趣的是由 $S(A)=\{x: \lim_{r\to 0}\theta_A(x,r)\neq 0\}$ 定义的奇异集，及其分层 S^k(A)=\{x: \text{在 x$处不存在切测度是$(k+1)-对称的}\}。随后我们引入并研究了定量分层 $S^k_{\epsilon}(A)$。粗略地说，$S^k_{\epsilon}(A)$ 由这样的点组成：在该点处 $A$ 的任何切测度都不 $\epsilon$-接近于 $(k+1)$-对称。在主定理中，我们证明了 $S^k_{\epsilon}$ 是 $k$-可求长的，并且满足 Minkowski 体积估计 $\text{Vol}(B_r(S^k_{\epsilon})\cap B_1)\le Cr^{n-k}$。最后，我们将主定理应用于平稳 Yang-Mills 联络，得到了一个可求长性定理，推广了 G. Tian 的一些已知结果。