定量分层与平均曲率流的正则性

设 $\cM$ 为 $R^N$ 中 $n$ 维曲面的 Brakke 流。奇异集 $\cS\subset\cM$ 具有分层结构 $\cS^0\subset\cS^1\subset...\cS$，其中若 $X$ 处的切向流不具有超过 $j$ 个对称性，则 $X\in \cS^j$。在此，我们定义满足 $\cup_{\eta>0}\cap_{0<r} \cS^j_{\eta,r}=\cS^j$ 的定量奇异分层 $\cS^j_{\eta,r}$。通过 sharpening 已知的抛物型 Hausdorff 维数界 $\dim \cS^j\leq j$，我们证明了有效的 Minkowski 估计，即 $\cS^j_{\eta,r}$ 的 $r$-管状邻域的体积满足 $\Vol (T_r(\cS^j_{\eta,r})\cap B_1)\leq Cr^{N+2-j-\varepsilon}$。我们的主要应用在于始于 $k$-凸光滑紧致嵌入超曲面的 Brakke 流的高阶正则性。为此，我们证明了对于 $k$-凸超曲面的流，任何具有至少 $k$ 个对称性的向后自相似极限流实际上都是静态的重数为一的平面。接着，记 $\cB_r\subset\cM$ 为正则性尺度小于 $r$ 的点集，我们证明了 $\Vol(T_r(\cB_r))\leq C r^{n+4-k-\varepsilon}$。这给出了第二基本形式的 $L^p$ 估计，适用于任意 $p<n+1-k$。事实上，这些估计更强，给出了正则性尺度倒数的 $L^p$ 估计。这些估计是尖锐的。我们开发并应用的关键技术是 Cheeger 和 Naber (arXiv:1103.1819v3) 以及 Cheeger 和 Naber (arXiv:1107.3097v1) 引入的定量分层方法的抛物型版本。