任意余维 Reifenberg 集的平均曲率流

我们研究了从 $\mathbb{R}^n$ 中所谓的 $k$ 维 $(\varepsilon,R)$ Reifenberg 平坦集出发的任意维数和余维的光滑平均曲率流的存在性与唯一性。我们的结果推广了作者之前一篇论文的结果，该论文研究了余维一的情况（即 $k=n-1$）。对于固定的 $\varepsilon$，该类足够广泛以包含 (i) 所有 $C^2$ 子流形，(ii) 所有 Lipschitz 常数小于 $\varepsilon$ 的 Lipschitz 子流形，(iii) 某些 Hausdorff 维数大于 $k$ 的集合。粗略地说，Reifenberg 条件表明该集合在每个点和尺度上都有一个 $k$ 维切平面的弱度量概念，但这些切平面允许随着尺度变化而倾斜。我们证明，如果 Reifenberg 参数 $\varepsilon$ 足够小，则（任意余维的）水平集流（在 Ambrosio-Soner 意义下）不发生增胖、是光滑的，并且在 Hausdorff 意义下达到初值。特别地，我们的结果推广了 Wang 的一个结果，事实上也推广了所有已知的任意余维光滑平均曲率流的存在唯一性结果。与余维一情况证明的最大偏离出现在唯一性（即不增胖）的证明中，其中被迫使用高余维水平集流的粘性概念，而非 Ilmanen 更具几何的定义。本研究得到了一个一般的（短时间）光滑唯一性结果，推广了光滑子流形演化的相应结果，这可能具有独立意义，即使在余维一的情形下也是如此。