具有一般奇点的平均曲率流的奇点集

从 $R^{n+1}$ 中的闭嵌入超曲面出发的平均曲率流必然会产生奇点。我们证明，如果该流仅具有一般奇点，则时空奇点集包含在有限多个紧致嵌入的 $(n-1)$ 维 Lipschitz 子流形以及一个维数至多为 $n-2$ 的集合之中。如果初始超曲面是平均凸的，则所有奇点均为一般奇点，上述结论适用。在 $R^3$ 和 $R^4$ 中，我们证明在几乎所有时刻，演化超曲面是完全光滑的，且奇点集的任何连通分支都完全包含在一个时间切片中。对于所有维数中的 $2$ 凸或 $3$ 凸超曲面，相同的论证得出相同的结论：该流在几乎所有时刻都是完全光滑的，且奇点集的连通分支包含在时间切片中。一个关键的技术点是我们在所有维数以及所有仅具有一般奇点的流中证明的一个强抛物 Reifenberg 性质。我们还证明了整个流在经过一般奇点后会非常迅速地清除。这些结果在本质上是最佳的。