平均曲率流作为研究 4-流形拓扑的工具
微分几何
2012-08-30 v1 偏微分方程分析
代数拓扑
几何拓扑
摘要
本文探讨如何利用平均曲率流解决 4 维拓扑中的一些核心问题。我们关注那些可以光滑嵌入为 R^5 中超曲面的光滑闭 4-流形。首先解释为何所有闭光滑同伦球面均可光滑嵌入。随后讨论此类超曲面在平均曲率流下的演化。若超曲面在流开始前处于一般位置或通有位置，我们将解释流过程中可能出现的奇点，并说明为何可假设其处于通有位置。平均曲率流是体积的负梯度流，因此任何超曲面均沿体积最速下降方向演化为其他超曲面，并最终在有限时间内消失。在消失之前，拓扑变化会随着奇点的出现而发生。因此，在某种意义上，拓扑信息被编码在奇点之中。
引用
@article{arxiv.1208.5988,
title = {Mean curvature flow as a tool to study topology of 4-manifolds},
author = {Tobias Holck Colding and William P. Minicozzi and Erik Kjaer Pedersen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1208.5988},
year = {2012}
}