超球外具有自由边界的平均曲率流

本文目的有二：首先，确立充分条件，使得支撑在具有外部 Dirichlet 边界的超球上的平均曲率流全局存在并收敛至极小曲面；其次，阐明 Killing 向量场在保持具有自由边界的平均曲率流的图性中的应用。为此，我们关注拓扑圆环的平均曲率流，其内边界与 \R^{n+1} 中的标准 n-球面正交相交，外边界固定在半径 R>1、高度 h 固定的 (n-1)-球面上。我们将此称为\emph{球面问题}。我们的工作置于具有对称性或平均凹/凸限制的图形平均曲率流背景下。对于旋转对称的初始数据，根据初始图形的确切构型，我们要么得到长期存在性并收敛到具有边界的极小超曲面，要么观察到有限时间曲率奇点的形成。对于反射对称的初始数据，我们能够利用 Killing 向量场保持流的图性，并沿流逐点一致地控制平均曲率。最后，我们证明了初始平均凹/凸的图形表面的平均曲率流全局存在并收敛到极小曲面的一部分。