古代渐近柱面流及其应用

本文中，我们证明了 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中平均曲率流的颈奇点的平均凸邻域猜想对所有 $n\geq 3$ 成立：我们证明，若 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的平均曲率流 $\{M_t\}$ 在 $(x_0,t_0)$ 处有一个 $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ 奇点，则存在 $\varepsilon=\varepsilon(x_0,t_0)>0$ 使得对所有 $t\in(t_0-\varepsilon^2,t_0+\varepsilon^2)$，$M_t\cap B(x_0,\varepsilon)$ 是平均凸的。如同 $n=2$ 的情形（由前三位作者在 arXiv:1810.08467 中解决），此类平均凸邻域的存在性源于对一类在颈奇点附近作为潜在吹胀极限出现的古代 Brakke 流的分类。具体而言，我们证明任何具有柱面下极限的古代单位正则积分 Brakke 流必为圆缩圆柱、平移碗孤子或古代椭圆。特别地，结合最后两位作者先前的结果，我们获得了平均曲率流穿过颈奇点的唯一性。处理高维情形的主要困难在于将柱面上的谱分析提升为解的全局几何性质。最关键的是，由于当 $n\geq 3$ 时存在大量熵低于圆柱的自缩流，光滑性无法由谱分析通过软论证得到。这排除了使用经典移动平面法推导对称性。为克服此困难，我们引入了一种移动平面法的新变体，称之为“不假设光滑性的移动平面法”——其中光滑性与对称性被同步建立。