分层测度的典型性

此处将欧氏空间上的分层测度定义为可求长测度的凸组合。它们可能关于 Lebesgue 测度奇异,并推广了连续-离散混合。因此,分层测度 $\rho$ 可表示为 $\sum_{i=1}^k q_i \rho_i$,其中 $(q_1,..,q_k)$ 是一个概率向量,且每个 $\rho_i$ 对某个整数 $m_i$ 是 $m_i$-可求长的,即关于 $m_i$-可求长集 $E_i$ 上的 $m_i$-Hausdorff 测度 $\mu_i$ 绝对连续(例如光滑 $m_i$-流形)。我们引入了 $\rho^{\otimes n}$(无记忆信源)的一组强典型实现,它们以高概率出现。典型实现支撑于有限个分层 $\{E_{i_1}\times \cdots \times E_{i_n}\}$ 的并上,其维数集中于平均维数 $\sum_{i=1}^k q_i m_i$ 附近。对每个 $n$,不同分层上 Hausdorff 测度的适当求和给出了自然的参考“体积”概念;典型集体积的指数增长率由 $\rho$ 相对于 $\mu=\sum_{i=1}^k \mu_i$ 的 Csiszar 广义熵量化。此外,我们证明该广义熵满足链式法则,且条件项与各分层中典型实现的体积增长相关。链式法则及其渐近解释在更一般的逐段连续测度框架下成立:装备有参考 $\sigma$-有限测度的两两不交集合上测度的凸组合。最后,我们确立当应用于分层测度时,我们的平均维数概念与 Rényi 信息维数一致,但此处使用的广义熵不同于 Rényi 维数熵。