广义均值的若干测度论性质

如果 $\Lambda$ 是一个测度空间，$u:\Lambda ^{m}\rightarrow \Bbb{R}$ 是给定函数且 $N\geq m,$ 函数 $U(x_{1},...,x_{N})=\left( \begin{array}{l} N \\ m \end{array} \right) ^{-1}\sum_{1\leq i_{1}<\cdots <i_{m}\leq N}u(x_{i_{1}},...,x_{i_{m}})$ 称为以 $u$ 为核的广义 $N$-均值，这一术语借自 $U$-统计量。粒子系统的物理势也由广义均值定义。本文研究广义 $N$-均值的各种测度论概念是否等价于其核的类似概念：序列的几乎处处收敛、可测性、本质有界性，以及关于绝对连续概率测度的可积性。答案通常是肯定的，但不总是。这一信息在一些涉及存在满足给定条件的广义均值的问题中至关重要，例如经典统计物理的逆问题（在正则系综中）。