集合大小的广义度量

我们使用扩展的覆盖概念推广了度量，以便提供一种不同于基数的集合大小新方法。广义度量有应用背景，例如降维中的广义问题，并且有理由来自正大小和正刻度的最小值的存在，即最小值都是集合$\{0\}$的大小。实际测量中正刻度的最小值提供了对象不能被任意分割的可能性，例如，区间$[0, 1]$不能被任意无限次分割以保持与正大小的最小值兼容。对于集合大小的度量，可以假设这个最小值是$\{0\}$的大小，符号$|\{0\}|$或刻度1。对于集合$S$，我们将任何刻度推广为集合$C_i$的大小，其中$\exists x \in S (x \in C_i)$，并且$|S|$由一个对表示，符号$(C, N(C))$，其中$C = \cup C_i$，$N(C)$是$C_i$上的集合函数，$C_i$与顺序$i$无关，$N(C)$反映$C_i$的数量。这个对是盒计数维度的推广形式。所得大小在一般情况下满足外测度的性质，在刻度1的情况下满足测度的性质；而从反向来看，测度是使用区间大小的刻度的大小。至于基数，所得大小是一一对应，只允许加法，是基数的弱形式，并使用维度将连续统假设重写为$\omega \dot |\{0,1\}| = 1$。从反向来看，集合的基数是该集合刻度下的大小。广义度量提供了维度、测度、基数以及无穷的统一方法。