里奇曲率下界与奇异集的定量行为

设Y^n为满足Ric_i≥-(n-1)的v-非塌缩黎曼流形序列M^n_i→Y^n的Gromov-Hausdorff极限。Y的奇异集S具有分层结构S^0⊂S^1⊂...⊂S，其中y∈S^k当且仅当y处没有切锥等距分裂出R^{k+1}因子。已知Hausdorff维数界dimS^k≤k。这里，对于所有η>0，0<r≤1，我们定义第k有效奇异层S^k_{η,r}，使得∪_η∩_r S^k_{η,r}=S^k。通过加强界dim S^k≤k，我们证明r-管状邻域满足：对所有y，Vol(T_r(S^k_{η,r})∩B_{1/2}(y))≤c(n,v,η)r^{n-k-η}。证明依赖于定量微分论证；进一步解释见第2节。应用给出了爱因斯坦流形的新曲率估计。设Rm为曲率张量，除非Y^n在y的某邻域内光滑，否则视|Rm(y)|=∞。令B_r={y: |sup_{B_r(y)}|Rm|≥r^{-2}}。额外假设M^n_i为Kähler-Einstein且||Rm||_{L_2}≤C，我们得到对所有y有Vol(B_r∩B_{1/2}(y))≤c(n,v,C)r^4。在Kähler-Einstein情形下，不假设M^n_i上的任何积分曲率界，我们得到B_r上稍弱的体积界，这给出了对所有p<2的先验L_p曲率界；精确陈述（更尖锐）见第1节。