粘合空间与 Ricci 曲率下界

我们考虑带边界的黎曼流形 $M_i$（${i=0,1}$）以及非负 $\Phi_i\in C^{\infty}(M_i)$，使得对 $(M_i, \Phi_i)$ 的 Bakry-Emery $N$-Ricci 曲率有从下方以 $K$ 为界。设 $Y_0$ 与 $Y_1$ 分别为 $M_0$ 与 $M_1$ 边界的等距紧致分支，并假设在 $Y_0\simeq Y_1$ 上 $\Phi_0=\Phi_1$。我们假设 $\Pi_0+\Pi_1=\Pi \geq 0$ (*)，且在 $Y_0\simeq Y_1$ 上 $d\Phi_0(\nu_0)+ d\Phi_1(\nu_1)\leq \mbox{tr}\Pi$ (**)，其中 $\Pi_i$ 为第二基本形式，$\nu_i$ 为沿 $\partial M_i$ 的内单位法向量场。我们证明度量粘合空间 $M=M_0\cup_{\mathcal I}M_1$ 连同测度 $\Phi d\mathcal H^n$ 满足曲率-维数条件 $CD(K,\lceil N \rceil)$，其中 $\Phi: M\rightarrow [0,\infty)$ 由 $\Phi_1$ 与 $\Phi_2$ 自然给出。此外，$(M, \Phi d\mathcal H^n)$ 是 Ricci 曲率以 $K- \epsilon$ 为下界的光滑 $\lceil N \rceil$ 维黎曼流形的塌缩 Gromov-Hausdorff 极限，也是光滑加权黎曼流形的度量 Gromov-Hausdorff 极限，其 Bakry-Emery $\lceil N \rceil$-Ricci 曲率以 $K-\epsilon$ 为下界。另一方面我们证明，给定如所述的粘合流形，仅当条件 (*) 与 (**) 成立时它才满足曲率-维数条件 $CD(K,N)$。后一陈述推广了 Kosovskiĭ 关于截面曲率下界的定理，并特别适用于非加权情形，其中较低的 Ricci 曲率界与 $\dim_{M_i}\leq N$ 取代了较低的 Bakry-Emery $N$-Ricci 曲率界。