谱里奇下界与均凸边界条件下的刚性与柔性

我们研究具有均凸边界且其里奇曲率在谱意义下非负的黎曼流形 $(M^n,g)$。我们的第一个主要结果是 Kasue 刚性定理的一个尖锐谱推广：我们证明，在条件 $$\lambda_1(-\gamma\Delta+\mathrm{Ric})\geq 0,\qquad H_{\partial M}\geq 0,$$ 以及尖锐范围 $0\leq \gamma<4$（若 $n=2$）和 $0\leq\gamma<\frac{n-1}{n-2}$（若 $n\geq3$）下，一个具有非连通边界且至少有一个紧致边界分支的（可能非紧的）完备流形，必定等距分裂为积流形 $[0,L]\times \Sigma$。我们的第二个主要贡献是关于相对基本群 $\pi_1(M,\partial M)$ 的拓扑刚性结果，结合了 Lawson--Michelsohn 的一个深刻定理。我们证明，在维度 $n\neq4$ 时，任何满足上述两个不等式（且至少有一个是严格的）的带边紧致流形，都容许一个具有正截面曲率和严格均凸边界的度量，前提是 $\gamma\geq0$（若 $n=2$）和 $0\leq\gamma\leq\frac{n-1}{n-2}$（若 $n\geq3$）。这个 $\gamma$ 的范围对于后一结果的成立是尖锐的。