黎曼带与开放不完全流形的刚性比较几何

比较定理是我们理解由各种曲率约束所蕴含几何特征的基础。本文考虑具有标量曲率、2-Ricci 曲率或 Ricci 曲率正下界的流形，并包含一系列定理，这些定理给出了该下界与“宽度”概念之间的尖锐关系。某些不等式利用了如边界平均曲率之类的几何量，而另一些则涉及以链接条件或同调约束形式出现的拓扑条件。在这些结果中，有几项研究了开放且不完全的流形，其中之一部分地解决了 Gromov 在此情形下的一个猜想。大多数结果都伴有刚性陈述，这些陈述分离出各种模型几何——既有完全的也有不完全的——包括对圆透镜空间的新刻画，以及其他未曾见于别处的模型。作为副产品，我们还额外给出了若干经典比较命题（如 Bonnet-Myers 定理与 Frankel 定理）以及 Llarull 定理的一个版本和关于渐近平坦流形的一个显著事实的新定量证明。我们所呈现的结果在性质上差异显著，但存在一个共同主题，即每篇证明中的主导作用均由时空调和函数扮演，它们是某个最初为研究数学广义相对论中质量而设计的椭圆方程的解。