二维消失、分裂与正数量曲率

我们在附加曲率假设下证明了 Gromov 宏观维数猜想的若干类比。更明确地说，我们证明对于具有非负 Ricci（相应地，截面）曲率的开放黎曼 $n$-流形 $(M,g)$，若其具有一致正数量曲率且一致体积非塌缩，则作为大性概念之一的渐近锥的本质（相应地，Hausdorff）维数具有锐上界 $n-2$，比仅具非负 Ricci 曲率的开放黎曼流形的上界小 $2$。作为推论，$M$ 的线性增长调和函数空间维数上界为 $n-1$，也比仅具非负 Ricci 曲率时的锐界 $n+1$ 小 $2$。我们还证明若 $M$ 紧致则第一 Betti 数上界为 $n-2$，若 $M$ 非紧致则为 $n-3$。当 $M$ 紧致时，我们给出了一个 over 环面的纤维化定理，以及当第一 Betti 数上界取到时的纤维刚性定理。