非负Ricci曲率、无穷远分裂与第一Betti数刚性

我们研究具有非负Ricci曲率的开放（完备且非紧）$n$流形的刚性问题。我们证明，如果$M$的渐近锥适当包含一个欧几里得$\mathbb{R}^{k-1}$，则$M$的第一Betti数至多为$n-k$；此外，如果等式成立，则$M$是平坦的。接下来，我们研究轨道$\Gamma\tilde{p}$的几何，其中$\Gamma=\pi_1(M,p)$作用于通用覆盖$(\widetilde{M},\tilde{p})$。在类似的渐近条件下，我们证明了关于$\Gamma\tilde{p}$增长阶的几何刚性。我们还给出了第一个具有$\mathrm{Ric}>0$和$\pi_1(M)=\mathbb{Z}$但轨道增长阶变化的流形$M$的例子。