非负黎巴斯曲率开放流形的分裂与慢体积增长

在\cite{NPZ24}中，Navarro-Pan-Zhu 证明了具有非负黎巴斯曲率和线性体积增长的开放流形的基本群包含一个与$\mathbb{Z}^k$同构的子群，且该子群的指数有限。他们进一步询问了基本群中是否存在无 torsion 元素是否会导致其普遍覆盖分裂成等距的$\mathbb{R}$-因子（\cite{NPZ24}问题1.3）。本文给出肯定回答。具体而言，我们证明如果一个具有非负黎巴斯曲率的开放流形具有线性体积增长，则其普遍覆盖等距于度量乘积$\mathbb{R}^k \times N$，其中N是一个具有线性体积增长的开放流形，k是使得$\pi_1(M)$包含指数有限的$\mathbb{Z}^k$子群的整数。直接 consequences 表明，如果黎巴斯曲率在某点为正，则基本群为有限群。我们还证明对于具有非负黎巴斯曲率的开放流形M，如果其体积增长阶数的下确界严格小于3且$\tilde{M}$具有欧几里得体积增长，则普遍覆盖$\tilde{M}$会分割出$\mathbb{R}^{n-2}$-因子。作为应用，如果M的第一 Betti 数为$b_1 = n-2$且$\tilde{M}$具有欧几里得体积增长，则其普遍覆盖具有此类分割。此结果对\cite[Question 1.6]{PY24}提供了部分答案。