非负 Ricci 曲率且渐近相对体积增长的完整流形

对于任意完整的非紧流形 $M$ 且 $\mathrm{Ric}\ge 0$，我们定义函数 $\mathrm{RV}(s)$ 描述相对体积的渐近增长 $$\mathrm{RV}(s)=\limsup_{r\to\infty} \dfrac{\mathrm{vol} B_{rs}(p)}{\mathrm{vol} B_r(p)},\quad s\ge 1.$$ 然后我们研究具有慢相对体积增长和亚线性直径增长的此类流形的基本群。我们证明，如果 $\mathrm{RV}(s)\ll s^2$ 当 $s\to\infty$，则 $\pi_1(M)$ 接近阿贝�；如果 $\mathrm{RV}(s)\ll s^{1+\delta}$ 其中 $\delta\in (0,1)$ 且 Ricci 曲率在某点为正，则 $\pi_1(M)$ 为有限。这些结果推广了我们之前关于完整流形且 $\mathrm{Ric}\ge 0$ 且线性（最小）体积增长的工作。