具有非负 Ricci 曲率的完备 K"ahler 流形

我们考虑具有非负 Ricci 曲率的完备 K"ahler 流形。主要结果为：1. 当流形具有非负双截面曲率时，我们证明 $\lim\limits_{r\to\infty}\frac{r^{2}}{vol(B(p, r))}\int_{B(p, r)}S$ 存在。换言之，它仅依赖于流形。这解决了 Ni 的一个问题。此外，我们建立了体积增长比、标量曲率积分与多项式增长全纯函数次数之间的估计。新的一点在于，该估计对于任何给定的体积增长率都是精确的。2. 我们发现了完备 Ricci 平坦 K"ahler 度量的强刚性。设 $M^n (n\geq 2)$ 为具有非负 Ricci 曲率和欧氏体积增长的完备 K"ahler 流形。假设曲率具有二次衰减，或者 K"ahler 度量是 $dd^c$-正合的且标量曲率具有二次衰减。如果无穷远处的某个切锥是 Ricci 平坦的，则 $M$ 是 Ricci 平坦的。特别地，该切锥是唯一的。换言之，我们可以通过检查单一的一个切锥来测试流形的 Ricci 平坦性。这似乎是出乎意料的，因为先验地，$M$ 上没有方程，且 Bishop-Gromov 体积比较在 Ricci 平坦（非平坦）流形上是不精确的。这一结果与黎曼情形形成鲜明对比：Colding 和 Naber 证明了当 $Ric\geq 0$ 且 $|Rm|r^2<C$ 时，切锥是相当灵活的。这揭示了黎曼情形与 K"ahler 情形之间的微妙差异。该结果包含大量例子，例如所有具有欧氏体积增长的非紧 Ricci 平坦 K"ahler 曲面（由 Kronheimer 分类的 hyper-K"ahler ALE 4-流形）、Tian-Yau 型的高维例子，以及一个具有不规则截面的例子。它还涵盖了在 $b_2 = 0$（例如 $\mathbb{C}^n$）的 Stein 流形上具有欧氏体积增长的 Ricci 平坦 K"ahler 度量。