扩张与收缩梯度 Kähler-Ricci 孤立子的分类结果
摘要
我们首先证明，一个具有二次曲率衰减及其导数的完备扩张梯度 Kähler-Ricci 孤立子，其切锥为 Kähler 锥当且仅当它有一个光滑典范模型（孤立子在其上生存）。这使我们能够对具有二次曲率衰减及其导数的二维完备扩张梯度 Kähler-Ricci 孤立子进行分类。接着我们证明，任何标量曲率在无穷远处趋于零的二维完备收缩梯度 Kähler-Ricci 孤立子，在经由 GL(2,C) 中元素拉回后，要么是 C^{2} 上的平坦高斯收缩孤立子，要么是 C^{2} 一点吹胀上的 Feldman-Ilmanen-Knopf 的 U(2)-不变收缩梯度 Kähler-Ricci 孤立子。最后，我们证明在经由 GL(n,C) 中元素拉回后，C^{n} 上具有界 Ricci 曲率的唯一完备收缩梯度 Kähler-Ricci 孤立子是平坦高斯收缩孤立子，而 O(-k)→P^{n-1}（0<k<n）全空间上的是 Feldman-Ilmanen-Knopf 的 U(n)-不变例子。在证明过程中，我们建立了具有界 Ricci 曲率的完备收缩梯度 Kähler-Ricci 孤立子的孤立子向量场在环面李代数中的唯一性。达成此结果的关键工具是来自辛几何的 Duistermaat-Heckman 定理。这为理解完备收缩梯度 Kähler-Ricci 孤立子与代数几何之间的关系提供了第一步。
引用
@article{arxiv.1904.00147,
title = {Classification results for expanding and shrinking gradient K\"ahler-Ricci solitons},
author = {Ronan J. Conlon and Alix Deruelle and Song Sun},
journal= {arXiv preprint arXiv:1904.00147},
year = {2024}
}
备注
66 pages; Appendix B incorporated into statement of Theorem B, statement and proof of Theorems B and C refined, topology on Lie groups in proof of Theorem D clarified, curvature assumption in items (1) and (2) of Theorem E weakened to bounded Ricci curvature, two additional open problems added to Section 7.2, Section A.6 added