体积增长与Gromov-Hausdorff极限的拓扑

我们研究了可被实现为具有非负Ricci曲率的完备黎曼流形序列$\{(M^n_i, p_i)\}_{i=1}^{\infty}$的尖点Gromov-Hausdorff极限的尖点度量测度空间$(Y, p)$的拓扑性质。Cheeger和Colding表明，给定这样的黎曼流形序列，可以在极限空间$(Y, p)$上定义一个测度$\nu$。在当前工作中，我们推广了作者先前的结果，以考察$(Y, p)$的拓扑与$\nu$的体积增长之间的关系。特别地，我们证明了极限空间中由极限测地线构成的三角形的Abresch-Gromoll型超出估计。假设极限中明确的体积增长下界，我们证明如果$\lim_{r \to \infty} \frac{\nu(B_p(r))}{\omega_n r^n} > \alpha(k,n)$，则$(Y,p)$的第$k$个同伦群是平凡的。常数$\alpha(k,n)$是显式的，仅依赖于$n$（流形$\{(M^n_i, p_i)\}$的维度）和$k$（$(Y,p)$中同伦的维度）。