黎曼流形中测地线的拓扑熵与阻挡代价

对于紧致黎曼流形 $M$ 中的一对点 $x,y$，令 $n_t(x,y)$（分别为 $s_t(x,y)$）表示连接这两点的长度 $\leq t$ 的测地线段数量（分别为阻挡它们所需的最小点障碍数）。我们研究了当 $t\to\infty$ 时 $n_t(x,y)$ 和 $s_t(x,y)$ 增长率之间的关系。我们根据拓扑熵 $h(M)$ 及其基本群推导了 $s_t(x,y)$ 的下界。这加强了 Burns-Gutkin \cite{BG06} 和 Lafont-Schmidt \cite{LS} 的结果。例如，根据 \cite{BG06,LS}，$h(M)>0$ 意味着 $s$ 是无界的；我们证明 $s$ 呈指数增长，其增长率至少为 $h(M)/2$。