黎曼流形上测地线的计数与测地流拓扑熵

设 $M$ 为紧 $C^{\infty}$ 黎曼流形。给定 $M$ 中 $p$ 与 $q$ 以及 $T>0$,定义 $n_{T}(p,q)$ 为连接 $p$ 与 $q$ 且长度 $\leq T$ 的测地线段个数。Mañé 证明了 $n_{T}(p,q)$ 在 $M \times M$ 上积分的指数增长率等于 $M$ 的测地流的拓扑熵。在本文中,我们给出二维球面上的一族开度量,使得对正测度集的 $(p,q)\in M\times M$,$n_{T}(p,q)$ 的指数增长率小于测地流的拓扑熵。这以否定方式回答了 Mañé 提出的问题。