几何分析中若干收敛概念的关系

我们将黎曼流形序列的度量张量 $L^p$ 收敛或体积收敛到给定光滑度量，与内在平坦（Intrinsic Flat）收敛和 Gromov-Hausdorff 收敛联系起来。我们给出许多共形度量序列的例子，表明即便序列是共形、$g_j=f_j^2g_0$、收敛到固定流形，这些收敛概念一般也不一致。随后我们证明一个定理：当固定流形 $M$ 上的度量张量序列有界，$(1-1/j)g_0 \le g_j \le K g_0$，且要么体积收敛，$\operatorname{Vol}_j(M)\rightarrow \operatorname{Vol}_0(M)$，要么度量张量在 $L^p$ 意义下收敛，则黎曼流形 $(M,g_j)$ 以带测度的 Gromov-Hausdorff 意义及保体积内在平坦意义收敛到 $(M,g_0)$。