$d_p$ 收敛与熵及标量曲率下界的 $\epsilon$-正则性定理

考虑黎曼流形序列 $(M^n_i,g_i)$，其标量曲率与熵下界为小常数 $R_i,\mu_i \geq-\epsilon_i$。本文旨在理解此类空间的收敛概念与极限结构。即便在看似刚性的情形 $\epsilon_i\to 0$ 下，我们仍构造例子表明该序列在 Gromov-Hausdorff 或内在平坦意义下可能狂野收敛。另一方面，我们将看到这些经典收敛概念并非应考虑的正确概念。事实上，即便是度量空间也是错误的底层范畴。取而代之，我们引入 $d_p$ 收敛，一种对一类可求长黎曼空间有效的更弱收敛概念。这些可求长空间具有良态的拓扑、测度论与分析，尽管可能不存在合理的相关距离函数。在 $d_p$ 接近意义下，具有几乎非负标量曲率与小熵界的空间必接近于欧氏空间；这构成我们的 $\epsilon$-正则性定理。更一般地，我们有一个紧性定理：具有小标量曲率与熵下界 $R_i,\mu_i \geq -\epsilon$ 的黎曼流形序列 $(M^n_i,g_i)$ 必 $d_p$ 收敛于此类可求长黎曼空间 $X$。与第一段相比，$M_i$ 的距离函数可能退化，尽管在良定义的意义上分析不能退化。具有小标量曲率与熵下界流形的应用包括 $L^\infty$-Sobolev 嵌入以及当 $p<1$ 时的先验 $L^p$ 标量曲率界。