几何分析中各种收敛概念的对比

我们探讨了固定黎曼流形上度量张量的 $L^p$ 收敛与对应度量空间序列的 Gromov-Hausdorff 收敛、一致收敛以及内蕴平坦收敛之间的区别。我们提供了若干例子，证明即使对于扭曲函数在 $L^p$ 意义下收敛的二维扭曲积流形，这些收敛概念也不一致。随后我们证明了一个定理，该定理要求扭曲函数具有从上方的 $L^p$ 界和从下方的 $C^0$ 界，以获得足够的控制使得所有这些极限一致。