具有里奇曲率界的塌缩流形上的拓扑与ε-正则性定理
微分几何
2016-10-19 v2
摘要
本文讨论并证明了在塌缩情形下，爱因斯坦流形(Mⁿ,g)以及更一般的仅具有有界里奇曲率的流形的ε-正则性定理。非塌缩爱因斯坦流形正则性理论的一个关键工具是：如果x∈Mⁿ使得Vol(B₁(x))>v>0且B₂(x)在Gromov-Hausdorff意义下充分接近一个锥空间B₂(0ⁿ⁻ˡ,y*)⊂Rⁿ⁻ˡ×C(Yˡ⁻¹)，其中ℓ≤3，那么实际上在B₁(x)上|Rm|≤1。在塌缩情形下，没有已知的结果，事实上很容易看出没有更多条件这样的结果是错误的。事实证明，这种估计的失败与拓扑有关。我们的主要定理是，在塌缩背景下，对于上述设定，要么曲率有界，要么B₁(x)上存在拓扑约束。更精确地说，利用已有技术，可以看到存在ε(n)使得如果(Mⁿ,g)是爱因斯坦流形且B₂(x)在ε-Gromov-Hausdorff意义下接近Rᵏ⁻ˡ×Zˡ中的球B₂(0ᵏ⁻ˡ,z*)，那么纤维基本群Γ_ε(x)≡Image[π₁(B_ε(x))→π₁(B₂(x))]几乎是幂零的，且rank(Γ_ε(x))≤n-k。本文的主要结果是，如果rank(Γ_ε(x))=n-k是最大的，那么|Rm|≤C在B₁(x)上成立。当球接近欧几里得时，这是一个充要条件。该结果可以推广到有界里奇曲率甚至仅下里奇曲率的情形。
引用
@article{arxiv.1412.1326,
title = {Topology and \epsilon-regularity Theorems on Collapsed Manifolds with Ricci Curvature Bounds},
author = {Aaron Naber and Ruobing Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1412.1326},
year = {2016}
}