非压缩空间的拓扑正则性与 Ricci 曲率有下界的情况

我们研究了非压缩 Ricci 限制空间 $(M_i^n,g_i,p_i)\to (X^n,d)$ 的拓扑正则性与稳定性。我们证实了 Colding 和 Naber 在维数 $n=4$ 时提出的猜想，表明在给定点 $x\in X^4$ 处的所有切锥的截面都同胚于固定的球面空间型 $S^3/\Gamma_x$，且 $\Gamma_x$ 在维数为 0 的集合之外是平凡的。在维数 $n>4$ 中，我们在所有切锥为 $(n-4)$-对称的点处证明了类似的表述。此外，我们证明 $(n-3)$-对称的非压缩 Ricci 限制是拓扑流形，从而确认了 Cheeger、Colding 和 Tian 提出的猜想的特定情况。我们的分析依赖两个关键结果，其重要性超越了其在非压缩 Ricci 限制空间截面研究中的应用：（i）一种用于非压缩 ${\rm RCD}(-2,3)$ 空间的新型流形识别定理。（ii）排除形式为 $\mathbb{R}^{n-3}\times C(\mathbb{RP}^2)$ 的非压缩 Ricci 限制空间的锥刚性结果。